El Hotel de Hilbert es una famosa paradoja matemática acerca de un hotel imaginario con un número infinito de habitaciones. Incluso cuando está completamente lleno se pueden conseguir habitaciones para nuevos huéspedes simplemente con un cambio coordinado de habitaciones. El matemático Raúl Ibáñez lo cuenta muy bien en este vídeo:
Como es lógico este hotel no aparecerá en ninguna guía turística, pero los niveles cuánticos en un sistema cuántico se pueden asemejar mucho a las habitaciones del Hotel de Hilbert. Tanto es así que unos investigadores han conseguido usando los distintos modos ópticos de un rayo láser realizar una operación de “cambio de habitaciones” que crea un “sitio libre” simplemente transformando un estado cuántico en otro.
En 1924 el matemático David Hilbert subrayaba la naturaleza contraintuitiva del infinito con una historia acerca de un hotel con un número infinito de habitaciones individuales, esto es, cada una podía ser ocupada por una sola persona. Si llegaba un nuevo huésped el gerente del hotel podía encontrarle alojamiento en la habitación 1 simplemente desplazando a todos los huéspedes ya alojados a la habitación con un número inmediatamente siguiente a la suya: el ocupante de la habitación 1 pasaba a la 2, el de la 2 a la 3, el de la 54 a la 55 y, en general, el de la n pasaba a la n+1, es decir, n => n+1. Si llegaban un número infinito de nuevos huéspedes bastaba con dejar libres todas las habitaciones impares, con lo que el huésped de la habitación n pasaba a alojarse en la 2n, o sea, n => 2n .
El sistema emplea rayos láser para crear modos de momento angular orbital
No hace mucho un grupo de investigadores demostraba que se podía realizar la operación n => n+1 en un sistema cuántico con un número ilimitado de niveles de energía. El mismo grupo, encabezado por Václav Potoček, de la Universidad de Glasgow (Reino Unido), ha conseguido ahora la n => 2n empleando un rayo láser con unas “habitaciones” llamadas modos de momento angular orbital (cuya representación gráfica tiene forma de pétalos). Los investigadores encontraron un procedimiento para cambiar el estado de la habitación n por el de la habitación 3n (el procedimiento también funciona si se usan otros multiplicadores, como el 2).
Y esto, ¿para qué sirve? Cuando tenemos que enviar muchas informaciones distintas a través de un solo cable o una fibra óptica es necesario recurrir a alguna manera de separar las distintas transmisiones. Esta operación con las habitaciones cuánticas puede ser útil para crear espaciados en las frecuencias entre los múltiples canales antes de combinarlos (multiplexarlos, como se conoce en la jerga) en una sola señal de comunicación.
Referencia: Václav Potoček et al (2015) Quantum Hilbert Hotel Phys. Rev. Lett. DOI: 10.1103/PhysRevLett.115.160505
* Este artículo es parte de ‘Proxima’, una colaboración semanal de la Cátedra de Cultura Científica de la UPV con Next. Para saber más, no dejes de visitar el Cuaderno de Cultura Científica.
